问题详情：
如图
，抛物线
与
轴交于
，与
轴交于点
．已知直线
过
两点．
（1）求抛物线和直线
的表达式；
（2）点
是抛物线上的一个动点，
①如图
，若点
在第一象限内，连接
，交直线
于点
．设
的面积为
，
的面积为
，求
的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴
与
轴交于点
，过点
作
，垂足为
．点
是对称轴
上的一个动点，是否存在以点
为顶点的四边形是平行四边形?
若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）
，
；（2）①
；②存在，点P的坐标为(2，
)，点Q的坐标为(1，2)或(1，
)
【解析】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入
可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入
即可求解；
（2）①设点D的坐标为(
，
)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为
，解方程
，求得点P的横坐标为
，利用平等线分线段成比例定理求得
，得到
，利用二次函数的*质即可求解；
②根据等腰直角三角形的*质求得点
的坐标为(2，
)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．
【详解】
（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入
得：
，
解得：
，
∴抛物线的表达式为
，
令
，则
，
∴点C的坐标为(0，3)，
把B(3，0)，C(0，3)代入
得：
，
解得：
，
∴直线
的表达式为
；
（2）①∵PA交直线BC于点
，
∴设点D的坐标为(
，
)，
设直线PA的表达式为
，
∴
，
解得：
，
∴直线PA的表达式为
，
∴
，
整理得：
，
解得：
(不合题意，舍去)，
∴点D的横坐标为
，点P的横坐标为
，
分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：
∴DM∥PN，OM=
，ON=
，OA=1，
∴
，
∵
，
∴当
时，分子取得最大值，即
有最大值，最大值为
；
②存在，理由如下：
作
于G，如图，
∵
的对称轴为：
，
∴OE=1，
∵B(3，0)，C(0，3)
∵OC=OB=3，∠OCB=90
，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∵∠EFB=90
，BE=OB-OE=2，
∴△OCB是等腰直角三角形，
∴EG=GB=EG=1，
∴点
的坐标为(2，
)，
当EF为边时，
∵EFPQ为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥
轴，
∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，
当
时，
，
∴点P的坐标为(2，
)，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，2)；
当EF为对角线时，如图，
∵四边形PEQF为平行四边形，
∴QE=PF，QE∥PF∥
轴，
同理求得：点P的坐标为(2，
)，
∴QE=PF=3-1=2，
点Q的坐标为(1，
)；
综上，点P的坐标为(2，
)，点Q的坐标为(1，2)或(1，
)；
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和*质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的*质以及平行四边形的对边的判定和*质，（3）注意要分AB是对角线与边两种情况讨论．
知识点：相似三角形
题型：综合题
