问题详情:
如图,抛物线与轴交于,两点.
(1)若过点的直线是抛物线的对称轴.
①求抛物线的解析式;
②对称轴上是否存在一点,使点关于直线的对称点恰好落在对称轴上.若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
(2)当,时,函数值的最大值满足,求的取值范围.
【回答】
(1)①;②存在,或;(2).
【解析】
(1)①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式;
②如图1,若点P在x轴上方,点B关于OP对称的点在对称轴上,连接、PB,根据轴对称得到,,求出点B的坐标,勾股定理得到,再根据,列出方程解答,同理得到点P在x轴下方时的坐标即可;
(2)当时,确定对称轴的位置,再结合开口方向,确定当时,函数的增减*,从而得到当x=2时,函数取最大值,再列出不等式解答即可.
【详解】
解:(1)①抛物线的对称轴为直线,
∴若过点的直线是抛物线的对称轴,
则,解得:b=4,
∴;
②存在,
如图1,若点P在x轴上方,点B关于OP对称的点在对称轴上,连接、PB,
则,,
对于,令y=0,则,
解得:,
∴A(-1,0),B(5,0),
∴,
∴,
∴,
设点P(2,m),
由可得:,解得:,
∴,
同理,当点P在x轴下方时,,
综上所述,点或
(2)∵抛物线的对称轴为直线,
∴当时,,
∵抛物线开口向下,在对称轴左边,y随x的增大而增大,
∴当时,取x=2,y有最大值,
即,
∴,解得:,
又∵,
∴.
【点睛】
本题考查了二次函数的综合应用,涉及了二次函数的图象与*质,以及勾股定理的应用,其中第(1)②问要先画出图形再理解,第(2)问运用到了二次函数的增减*,难度不大,解题的关键是熟记二次函数的图象与*质.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题