问题详情:
如图,已知抛物线经过两点,,是抛物线与轴的交点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,设的面积为,求关于的函数表达式(指出自变量的取值范围)和的最大值;
(3)点在抛物线上运动,点在轴上运动,是否存在点、点使得,且与相似,如果存在,请求出点和点的坐标.
【回答】
(1)将、代入,
得:,解得:,
抛物线的解析式为.
(2)过点作轴,交于点,如图1所示.
当时,,
点的坐标为.
设直线的解析式为,
将、代入,得:
,解得:,
直线的解析式为.
设点的坐标为,则点的坐标为,
,
,
当时,面积取最大值,最大值为.
点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动,
.
(3)存在点、点使得,且与相似.
如图2,,当点位于点上方,过点作轴于点,
,,
,
若与相似,则与相似,
设,,
,,
当时,,
,
解得,,
,
此时,
,
当时,,
,
解得,
,,
此时.
如图3,当点位于点的下方,
过点作轴于点,
设,,
,,
同理可得:或,与相似,
解得或,
,或,
此时点坐标为或.
综合以上得,,或,,或,,或,,使得,且与相似.
知识点:各地中考
题型:综合题