问题详情:
在平面直角坐标系中,抛物线经过点和点,与y轴交于点D,与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图1,连接,在抛物线上是否存在点P,使得?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,连接,交y轴于点E,点M是线段上的动点(不与点A,点D重合),将沿所在直线翻折,得到,当与重叠部分的面积是面积的时,请直接写出线段的长.
【回答】
(1);(2)存在,(,)或(,);(3)或
【解析】
(1)根据点A和点C的坐标,利用待定系数法求解;
(2)在x轴正半轴上取点E,使OB=OE,过点E作EF⊥BD,垂足为F,构造出∠PBC=∠BDE,分点P在第三象限时,点P在x轴上方时,点P在第四象限时,共三种情况分别求解;
(3)设EF与AD交于点N,分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况,利用题中所给面积关系和中线的*质可得MN=AN,FN=NE,从而*四边形FMEA为平行四边形,继而求解.
【详解】
解:(1)∵抛物线经过点A(-2,-4)和点C(2,0),
则,解得:,
∴抛物线的解析式为;
(2)存在,理由是:
在x轴正半轴上取点E,使OB=OE,过点E作EF⊥BD,垂足为F,
在中,
令y=0,解得:x=2或-1,
∴点B坐标为(-1,0),
∴点E坐标为(1,0),
可知:点B和点E关于y轴对称,
∴∠BDO=∠EDO,即∠BDE=2∠BDO,
∵D(0,2),
∴DE==BD,
在△BDE中,有×BE×OD=×BD×EF,
即2×2=×EF,解得:EF=,
∴DF==,
∴tan∠BDE===,
若∠PBC=2∠BDO,
则∠PBC=∠BDE,
∵BD=DE=,BE=2,
则BD2+DE2>BE2,
∴∠BDE为锐角,
当点P在第三象限时,
∠PBC为钝角,不符合;
当点P在x轴上方时,
∵∠PBC=∠BDE,设点P坐标为(c,),
过点P作x轴的垂线,垂足为G,
则BG=c+1,PG=,
∴tan∠PBC===,
解得:c=,
∴=,
∴点P的坐标为(,);
当点P在第四象限时,
同理可得:PG=,BG=c+1,
tan∠PBC===,
解得:c=,
∴=,
∴点P的坐标为(,),
综上:点P的坐标为(,)或(,);
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题