问题详情：
如图（1），在平面直角坐标系中抛物线
与
轴交于点
，与
轴交于点
，且经过点
，连接
，
，作
于点
，将
沿
轴翻折，点
的对应点为点
．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为_______，顶点坐标为________；
（2）判断点
是否在直线
上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中
沿着
平移后，得到
．若
边在线段
上，点
在抛物线上，连接
，求四边形
的面积．
【回答】
（1）
，（4，
）；（2）在，理由见解析；（3）22．
【解析】
（1）根据待定系数法将B、C两点坐标直接代入解析式即可求出a、b，用*法将解析式变形为顶点式即可得出顶点坐标；
（2）由三角形ABO是直角三角形，求得∠MAO=∠B，继而求得tan∠MAO= tan∠NAO = tan∠CAO=
，从而∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线；
（3）由平移规律可知，AF//OB，根据 直线OB解析式求出直线AF解析式，进而求出直线AF与抛物线交点，得F坐标，即可四边形
的面积等于四边形AODF面积即可解．
【详解】
解：把点
，点
代入抛物线解析式
得：
，解得
，
即抛物线解析式为：
，
∴
，
∴顶点坐标为（4，
）
故*为：
，（4，
）；
（2）∵
与y轴交于A点，
∴A点坐标为(0，4)，
又∵B点坐标为(8，4)，故AB⊥y轴，
∵AM⊥OB，
∴∠MAB+∠B=∠MAB+∠MAO，
∴∠MAO=∠B，
∵OA=4，AB=8，
∴tan∠MAO= tan∠B=
，
将
沿
轴翻折，点
的对应点为点
．
∴tan∠MAO= tan∠NAO =
，
又∵ OC=2，tan∠CAO
，
∴∠CAO=∠NAO，即AC与AN共线，
故N点直线AC上；
（3）∵B点坐标为(8，4)，
∴直线OB解析式为
，
平移规律可知，AF//OB，又因为点A坐标为
，
∴直线AF解析式为
，
联立解析式得方程组：
，解得
，
，
故F点坐标为：
，
由平移*质可知四边形AODF是平行四边形，
≌
．
∴四边形
的面积=平行四边形AODF面积，
∵平行四边形AODF面积=
，
∴四边形
的面积为22．
【点睛】
本题是函数与几何综合题，涉及了待定系数法求解析式、二次函数、一次函数的应用、解直角三角形、平移、轴对称等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，会构建直角三角形求点坐标，学会构建一次函数，利用方程组求两函数图象的交点坐标，属于中考压轴题．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
