问题详情:
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于点、(点在点右侧),点为抛物线的顶点.点在轴的正半轴上,交轴于点,绕点顺时针旋转得到,点恰好旋转到点,连接.
(1)求点、、的坐标;
(2)求*:四边形是平行四边形;
(3)如图2,过顶点作轴于点,点是抛物线上一动点,过点作轴,点为垂足,使得与相似(不含全等).
①求出一个满足以上条件的点的横坐标;
②直接回答这样的点共有几个?
【回答】
(1),,;(2)*见解析;(3)①点P的横坐标为,,,②点P共有3个.
【分析】
(1)令y=0,可得关于x的方程,解方程求得x的值即可求得A、B两点的坐标,对解析式*可得顶点D的坐标;
(2)由,CO⊥AF,可得OF=OA=1,如图2,易得,由此可得,继而*为等边三角形,推导可得,再由,,可得,问题得*;
(3)①设点的坐标为,分三种情况:点在点左侧,点在点右侧,点在之间,分别讨论即可得;
②由①的结果即可得.
【详解】
(1)令,
解得或,
故,,
*得,故;
(2)∵,CO⊥AF,
∴OF=OA=1,
如图,DD1⊥轴,∴DD1//CO,
∴,
∴,
即,
∴,
∴CF==2,
∴,
即为等边三角形,
∴∠AFC=∠ACF=60°,
∵∠ECF=∠ACF,
∴,
∴,
∵CF:DF=OF:FD1=1:2,
∴DF=4,∴CD=6,
又∵,,
∴,
∴四边形是平行四边形;
(3)①设点的坐标为,
(ⅰ)当点在点左侧时,
因为与相似,
则1),
即,
∴(舍),x2=-11;
2),
即,
∴(舍),;
(ⅱ)当点在点右侧时,
因为与相似,
则3),
即,
∴(舍),(舍);
4),
即,
∴(舍),(舍);
(ⅲ)当点在之间时,
∵与相似,
则5),
即,
∴(舍),(舍);
6),
即,
∴(舍),;
综上所述,点的横坐标为,,;
②由①可得这样的点P共有3个.
【点睛】
本题考查的是函数与几何综合题,涉及了等边三角形的判定与*质,平行四边形的判定,相似三角形的判定与*质,解一元二次方程等,综合*较强,有一定的难度,熟练掌握相关知识,正确进行分类讨论并画出符合题意的图形是解题的关键.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题