问题详情:
已知抛物线,直线与x轴交于点M,与y轴交于点N.
(1)求*:抛物线与x轴必有公共点;
(2)若抛物线与x轴交于A、B两点,且抛物线的顶点C落在此直线上,求的面积;
(3)若线段与抛物线有且只有一个公共点,求m的取值范围.
【回答】
(1)见解析;(2);(3)或或
【分析】
(1)根据根的判别式的正负*,即可求*;
(2)利用顶点的特点,求得点C的坐标,将点C坐标代入抛物线即可求得抛物线解析式,继而可得抛物线与x的交点A、B坐标,继而根据三角形面积公式即可求解;
(3)先求出点M、N的坐标,再分两种情况讨论即可:
【详解】
解:(1)∵
∴抛物线与x轴必有公共点.
(2)∵
∴其定点C的横坐标为
又∵定点C在直线上,所以定点C的坐标为
把点代入抛物线中,解得
∴抛物线方程为
∴抛物线与x轴的交点分别为和
∴
∴
(3)当时,,则N为
当时,,即M为
∵拋物线的对称轴为
∴分两种情况:
①由,得
∴,解得时,
线段与抛物线有且只有一个公共点;
②当,解得或时,
线段与抛物线有且只有一个公共点.
综上所述,m的取值范围是或或.
【点睛】
本题考查二次函数与一次函数的综合问题,涉及到根的判别式,解题的关键是综合运用所学知识,特别是二次函数的*质,有一定的难度.
知识点:二次函数单元测试
题型:解答题