问题详情：
如图，抛物线
与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点
，则下列结论中：①
；②
；③
与
是抛物线上两点，若
，则
；④若抛物线的对称轴是直线
，m为任意实数，则
；⑤若
，则
，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【回答】
B
【解析】
根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得
，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减*，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出
，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=
，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【详解】
解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，
，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即
，
∴
，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵
与
是抛物线上两点，
，
可得：抛物线
在
上，y随x的增大而增大，
在
上，y随x的增大而减小，
∴
不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则
，即
，
则
=
=
=
≤0，
∴
，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=
，
则
，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.
故选B.
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和*质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：选择题
