问题详情:
已知,抛物线与轴交于点与轴交于点,,且点的坐标为.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)如图1,若点是线段上的一动点,过点作,交于,连接,求面积的最大值.
(3)如图2,若直线与线段交于点,与线段交于点,是否存在,,使得为直角三角形,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2)3;(3)存在,或
【解析】
(1)利用待定系数法求出未知系数即可;
(2)求出A,B坐标,设出点P坐标,利用相似三角形的*质表示的面积,通过讨论最值,求出最大面积.
(3)用m分别表示出M,N坐标,分别讨论O、M、N为直角三角形顶点时的情况,求出相应的m值.
【详解】
解:(1)把点,分别代入中,
得,解得∴该函数解析式为
(2)令,即,解得,
∴,
设,则
∵
∴,
∴
∴,即
化简得:
∴
∵
∴当时,的最大值为3
(3)由题可得:,
联立,解得,∴
联立,解得,∴
,,
①当时,即时
∴∴
又∵,∴
②当时,即时
∴,∴
③当时,即时
∴,无解
∴综上所述:∴,∴
【点睛】
本题考查二次函数、一次函数的和相似三角形的相关*质,解答过程中要注意应用数形结合的思想.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题