问题详情:
如图所示抛物线过点,点,且
(1)求抛物线的解析式及其对称轴;
(2)点在直线上的两个动点,且,点在点的上方,求四边形的周长的最小值;
(3)点为抛物线上一点,连接,直线把四边形的面积分为3∶5两部分,求点的坐标.
【回答】
(1),对称轴为直线;(2)四边形的周长最小值为;(3)
【分析】
(1)OB=OC,则点B(3,0),则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,即可求解;
(2)CD+AE=A′D+DC′,则当A′、D、C′三点共线时,CD+AE=A′D+DC′最小,周长也最小,即可求解;
(3)S△PCB:S△PCA=EB×(yC-yP):AE×(yC-yP)=BE:AE,即可求解.
【详解】
(1)∵OB=OC,∴点B(3,0),
则抛物线的表达式为:y=a(x+1)(x-3)=a(x2-2x-3)=ax2-2ax-3a,
故-3a=3,解得:a=-1,
故抛物线的表达式为:y=-x2+2x+3…①;
对称轴为:直线
(2)ACDE的周长=AC+DE+CD+AE,其中AC=、DE=1是常数,
故CD+AE最小时,周长最小,
取点C关于函数对称点C(2,3),则CD=C′D,
取点A′(-1,1),则A′D=AE,
故:CD+AE=A′D+DC′,则当A′、D、C′三点共线时,CD+AE=A′D+DC′最小,周长也最小,
四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=+1+A′C′=+1+;
(3)如图,设直线CP交x轴于点E,
直线CP把四边形CBPA的面积分为3:5两部分,
又∵S△PCB:S△PCA=EB×(yC-yP):AE×(yC-yP)=BE:AE,
则BE:AE,=3:5或5:3,
则AE=或,
即:点E的坐标为(,0)或(,0),
将点E、C的坐标代入一次函数表达式:y=kx+3,
解得:k=-6或-2,
故直线CP的表达式为:y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得:x=4或8(不合题意值已舍去),
故点P的坐标为(4,-5)或(8,-45).
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、图象面积计算、点的对称*等,其中(1),通过确定点A′点来求最小值,是本题的难点.
知识点:二次函数的图象和*质
题型:解答题