问题详情:
如图,抛物线()过点和,点是抛物线的顶点,点是轴下方抛物线上的一点,连接,.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图①,当时,求点的坐标;
(3)如图②,在(2)的条件下,抛物线的对称轴交轴于点,交线段于点,点是线段上的动点(点不与点和点重合,连接,将沿折叠,点的对应点为点,与的重叠部分为,在坐标平面内是否存在一点,使以点,,,为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(2);(3)存在,(,)或(,)或(,)
【解析】
(1)把点O(0,0)和A(6,0)分别代入解析式即可求解;
(2)分别求得点B、C、E的坐标,用待定系数法求得直线的解析式,解方程组即可求得点D的坐标;
(3)分三种情况讨论,利用解直角三角形求解即可.
【详解】
(1)把点和分别代入中,得:
,
解得,
∴抛物线的解析式为;
(2)如图,设抛物线的对称轴与轴相交于点C,与相交于点E,
∵,
∴顶点,对称轴与轴的交点C(3,0),
∴OC=3, CB=,
∵在中,,
∴,
∵,
∴,
∴在中,,
∴点E的坐标为(3,),
设直线的解析式是(),
把点E (3,)代入,得:
解得,
∴直线的解析式是,
∴,
解得(舍去),,
∴当时,,
∴点D的坐标为(5,);
(3)存在,理由如下:
由(2)得:∠COE=∠EOB=30,CE=,BE=OE=2CE=2,
①当∠EFG=90时,如图:
点、G与点O重合,此时四边形EFGH为矩形,
过H作HP⊥OC于P,
∵∠COE=∠EOB=30,
∴OH=EF=CE=,
∴∠HOP=90-∠COE-∠EOB=30,
∴HP=OH=,OP=HP=,
点H的坐标为(,);
②当∠EGF=90时,此时四边形EGFH为矩形,如图:
∵∠CEO=90-∠COE=60,∠OEG=90-∠EOB=60,
∠BEG=180-∠CEO-∠OEG=60,
根据折叠的*质:∠EF=∠BEF==30,
在Rt△EGF中,∠EGF=90,∠GEF=30,GE=CE=,
∴GF=GE=1,
∴EH=GF=1,
过H作HQ⊥BC于Q,
∴∠HEQ=90-∠BEG =30,
∴HQ=EH=,EQ=HQ=,
点H的坐标为(,),即(,);
③当点G在OD上,且∠EGF=90时,此时四边形EGFH为矩形,如图:
∵∠BOE=30,
∴∠OFG=90-∠EOB=60,
根据折叠的*质:∠E=∠BFE== =60,
∴FG是线段OE的垂直平分线,
∴OG=GE=OE=,EH=GF=OG=1,
过H作HK⊥BC于K,
∴∠HEK=180-∠OEC-∠OEH=30,
∴HK=EH=,EK=HK=,
点H的坐标为(,),即(,);
综上,符合条件的点H的坐标为(,)或(,)或(,) .
【点睛】
本题是二次函数与几何的综合题考查了待定系数法求函数解析式,解直角三角形,含30度角的直角三角形的*质,翻折变换,矩形的*质等知识,解题的关键是注意数形结合思想和分类讨论的思想解决问题,属于中考压轴题.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题