问题详情:
已知圆C:与轴交于, (在原点右侧)两点,动点到,两点的距离之和为定值,且的最小值为−.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程;
(Ⅱ)过且斜率不为零的直线与点的轨迹交于A,B两点,若存在点E,使得是与直线的斜率无关的定值,则称E为“恒点”.问在x轴上是否存在这样的“恒点”?若存在,请求出该点的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
【解析】(1)由已知,=4与x轴交于 (−2,0), (2,0),则|| =4,
由题意知|P|+|P|=2a,cos ∠P=
=−1=−1≥−1=1−=−,当且仅当|P|=|P|=a时等号成立,因而=6,由椭圆的定义知,P的轨迹为椭圆,且,分别为其左、右焦点,=−=2,
所以所求轨迹方程为+=1 …6分
(2)如图,设直线的方程为x= my+2,A(,),B(,),
由,得(m2+3)y2+4my−2=0,
则+=−,=−.(8分)
假设存在这样的“恒点”E(t,0),
则==(−t,)·(−t,)
=(m+2−t,)·(m+2−t,)
=(m2+1) +(2−t)m(+)+(2−t)2
=+(2−t)2
=.
若是与直线的斜率无关的定值,则其为与m无关的定值,
则3−18=3−12t+10,得t=,
此时定值为()2−6=−,“恒点”为(,0).(12分)
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题