问题详情:
已知点动点满足直线与的斜率之积为.记的轨迹为曲线.
1.求的方程,并说明是什么曲线;
2.过坐标原点的直线交于两点,点在第一象限,轴,垂足为,连结并延长交于点.
(i)*:是直角三角形;
(ii)求面积的最大值.
【回答】
1.由题设得,化简得,所以为中心在坐标原点,焦点在轴上的椭圆,不含左右顶点.
2.(i)设直线的斜率为,则其方程为.
由得.
记,则.
于是直线的斜率为,方程为.
由得
.①
设,则和是方程①的解,故,由此得.
从而直线的斜率为.
所以,即是直角三角形.
(ii)由(i)得,,
所以△PQG的面积.
设,则由得,当且仅当时取等号.
因为在单调递减,所以当,即时,取得最大值,最大值为.
因此,面积的最大值为.
知识点:圆与方程
题型:综合题