问题详情：
已知：抛物线
与
轴的一个交点为
（1）求抛物线与
轴的另一个交点
的坐标；
（2）
是抛物线与
轴的交点，
是抛物线上的一点，且以
为一底的梯形
的面积为9，求此抛物线的解析式；
（3）
是第二象限内到
轴、
轴的距离的比为
的点，如果点
在（2）中的抛物线上，且它与点
在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点
，使
的周长最小？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由．
【回答】
（1）
；（2）
或
；（3）存在，
．
【解析】（1）依题意，抛物线
抛物线的对称轴为
，如图1示：
抛物线与
轴的一个交点为
，
由抛物线的对称*，可得抛物线与
轴的另一个交点
的坐标为
．
（2）
抛物线
与
轴的一个交点为
，
，
，
，
梯形
中，
，且点
在抛物线
上，
，
，
，
梯形
的面积为9，
，
，
，
所求抛物线的解析式为
或
．
（3）设点
坐标为(x0 ,y0)，如图2所示：
依题意，x0＜0，y0＜0，且
，
，
①设点
在抛物线
上，∴y0=x02+4x0+3，
解方程组
，得
，
点
与点
在对称轴
的同侧，
点
坐标为
，
．
设在抛物线的对称轴
上存在一点
，使
的周长最小．
长为定值，
要使
的周长最小，只须
最小
点
关于对称轴
的对称点是
由几何知识可知，
是直线
与对称轴
的交点
设过点
、
的直线的解析式为
，
，解得
，
直线
的解析式为
，
把
代入上式，得
，
点
坐标为
，
②设点
在抛物线
上，∴y0=-x02-4x0-3，
解方程组
，
消去y0，得
，
△
，
此方程组无实数根．
综上，在抛物线的对称轴上存在点
，使
的周长最小．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：解答题
