如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．（Ⅰ...

问题详情：

如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．

（Ⅰ）*平面PDC⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．

【回答】

【考点】LY：平面与平面垂直的判定；MI：直线与平面所成的角．

【分析】（Ⅰ）*AD⊥CD，AD⊥PD，推出AD⊥平面PDC，然后*平面PCD⊥平面ABCD．

（Ⅱ）在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，说明∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角，通过在Rt△PEB中，求解sin∠PBE=，推出结果．

【解答】（Ⅰ）*：由于底面ABCD是矩形，

故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD=D，

因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，

所以平面PCD⊥平面ABCD．…6分；

（Ⅱ）解：在平面PCD内，过点P作PE⊥CD交直线CD于点E，连接EB，

由于平面PCD⊥平面ABCD，而直线CD是平面PCD与平面ABCD的交线，

故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE为直线PB与平面ABCD所成的角…8分

在△PDC中，由于PD=CD=2，∠PDC=120°，知∠PDE=60°．，

在Rt△PEC中，PE=PDsin60°=3，DE=12，PD=1，

且BE===，

故在Rt△PEB中，PB==，sin∠PBE==．

所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为．…12分．

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题