问题详情:
已知动圆过定点(2,0),且与直线x=-2相切.
(1)求动圆的圆心轨迹C的方程;
(2)是否存在直线l,使l过点(0,2),并与轨迹C交于P,Q两点,且满足·=0?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【回答】
(1)如图,设M为动圆圆心,F(2,0),过点M作直线x=-2的垂线,垂足为N,
由题意知:|MF|=|MN|,即动点M到定点F与到定直线x=-2的距离相等,由抛物线的定义知,点M的轨迹为抛物线,其中F(2,0)为焦点,x=-2为准线,
所以动圆圆心轨迹C的方程为y2=8x.
(2)由题可设直线l的方程为x=k(y-2)(k≠0),
由,得y2-8ky+16k=0,
Δ=(-8k)2-4×16k>0,解得k<0或k>1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1+y2=8k,y1y2=16k,
由·=0,得x1x2+y1y2=0,
即k2(y1-2)(y2-2)+y1y2=0,
整理得:(k2+1)y1y2-2k2(y1+y2)+4k2=0,
代入得16k(k2+1)-2k2·8k+4k2=0,
即16k+4k2=0,
解得k=-4或k=0(舍去),
所以直线l存在,其方程为x+4y-8=0.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题