问题详情：
已知圆心为C(－2,6)的圆经过点M(0,6－2
)．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l过点P(0,5)且被圆C截得的线段长为4
，求直线l的方程；
(3)是否存在斜率是1的直线l′，使得以l′被圆C所截得的弦EF为直径的圆经过原点？若存在，试求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由．
【回答】
(1)圆C的半径为|CM|＝
＝4，
∴圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝16.......................4分
(2)方法一 如图所示，设直线l与圆C交于A，B两点且D是AB的中点，则|AB|＝4
，|AD|＝2
且CD⊥AB.
∵圆C的半径为4，即|AC|＝4，
∴在Rt△ACD中，可得|CD|＝
＝2，
即点C到直线l的距离为2.
(i)当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
由点到直线的距离公式得
＝2，
解得k＝
.
∴此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
(ii)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0.
将x＝0代入(x＋2)2＋(y－6)2＝16，得(y－6)2＝16－4＝12，y－6＝±2，
∴y1＝6＋2，y2＝6－2
，|y1－y2|＝4，
∴方程为x＝0的直线也满足题意，
∴所求直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0.
方法二 当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y＝kx＋5，即kx－y＋5＝0.
联立直线与圆C的方程
消去y得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0，①
设方程①的两根为x1，x2，
由根与系数的关系得
②
由弦长公式得
|x1－x2|＝
＝4，③
将②式代入③，并解得k＝
，
此时直线l的方程为3x－4y＋20＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
仿方法一验算得方程为x＝0的直线也满足题意．
∴所求直线l的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0
(3)方法一 假设存在直线l′满足题设条件，设l′的方程为y＝x＋m，则EF的中点N是两直线y＝x＋m与y－6＝－(x＋2)的交点，即N(
，
)，
∴|CN|＝
＝
.
∵以EF为直径的圆经过原点，∴OE⊥OF，
∴|EN|＝|ON|＝
，
又∵CN⊥EF，|CE|2＝|CN|2＋|EN|2，
∴
2＋
2＋
2＝16，化简得m2－8m＋24＝0.
∵方程m2－8m＋24＝0没有实数解，
∴不存在满足题设条件的直线l′.
方法二 假设存在直线l′满足题设条件，并设l′的方程为y＝x＋m，点E(x3，y3)，点F(x4，y4)，联立直线与圆C的方程
消去y得2x2＋2(m－4)x＋m2－12m＋24＝0.
由根与系数的关系得
④
∵以EF为直径的圆经过原点，∴OE⊥OF.
若E、F中有一点在y轴上，则另一点必在x轴上，而在圆C的方程中令y＝0可得x无实数解，故本情况不会出现．
∴
·
＝－1，即x3x4＋y3y4＝0，
∴x3x4＋(x3＋m)(x4＋m)＝0，
化简得2x3x4＋(x3＋x4)m＋m2＝0，
以④代入并化简得m2－8m＋24＝0.
∵方程m2－8m＋24＝0没有实数解，
∴不存在满足题设条件的直线l′
知识点：圆与方程
题型：解答题
