问题详情:
如图所示:与的边相切于点C,与、分别交于点D、E,.是的直径.连接,过C作交于G,连接、,与交于点F.
(1)求*:直线与相切;
(2)求*:;
(3)若时,过A作交于M、N两点(M在线段上),求的长.
【回答】
(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 10+.
【解析】
(1)由两组平行条件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS*△BOE≌△BOC,进而推出AB是圆的切线;
(2)将DG与OE的交点作为H,根据直角的*质得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出,再根据圆周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一组公共角可得△FED∽△DEC,得出,进而推出,即;
(3)先根据题意算出EC,再根据勾股定理得出直径CD,从而得出半径,再利用(2)中的比例条件将AC算出来,延长BO到I,连接ON,根据垂径定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分别求出AI和IN,即可得出AN.
【详解】(1)∵DE//OB,∴∠BOC=∠EDC,
∵CG//OE,∴∠DEO=∠BOE,
又∵∠DEO=∠EDC,∴∠DEO=∠BOE,
由题意得:EO=CO,BO=BO,
∴△BOE≌△BOC(SAS),
∴∠BEO=∠BCO=90°,
∴AB是⊙O的切线.
(2)
如图所示DG与OE交点作为H点,
∵EO//GC,
∴∠EHD=∠DGC=90°,
又由(1)所知∠AEO=90°,
∴AE//DF,
∴△AEC∽△DFC,
∴,
由圆周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD,
∵DO//GC,
∴∠EOD=∠GCD=∠GCE+∠ECD,
∴∠ECD=∠GCE=∠EDF,
又∵∠FED=∠DEC,
∴△FED∽△DEC,
∴,
∴,即.
(3)
∵,与∠ACE相等角的tan值都相同.
∴ED=6,则EC=12,
根据勾股定理可得.
∴EO=DO=CO=.
由(2)可得,
在Rt△AEO中,可得,即,
∴,
解得AE=,则AC=,AO=.
连接ON,延长BO交MN于点I,根据垂径定理可知OI⊥MN,
∵AN//CE,∴∠CAN=∠ACE.
在Rt△AIO中,可得,即,
解得OI=5,则AI=10,
在Rt△OIN中, ,即,
解得IN=.
∴AN=AI+IN=10+.
【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目给出的条件.
知识点:相似三角形
题型:综合题