问题详情：
在
中，
，
，
是
上一点，连接
（1）如图1，若
，
是
延长线上一点，
与
垂直，求*：
（2）过点
作
，
为垂足，连接
并延长交
于点
.
①如图2，若
，求*：
②如图3，若
是
的中点，直接写出
的值（用含
的式子表示）
【回答】
（1）*见解析；（2）①*见解析；②
【解析】
(1)延长
交
于点
，*
即可得；
(2)①过点
作
交
的延长线于点
，由(1)，得
，再根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；
②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H，先*△BPM≌△CHM，从而可得BP=CH，PM=HM，再*△ABM∽△BPM，得到
，在Rt△PCH中，由tan∠PCH=
可得tan∠BPQ=
，继而根据BC=2BM，
即可求得*.
【详解】
(1)延长
交
于点
，
∵
与
垂直，
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
；
(2)①过点
作
交
的延长线于点
，
∵
，∴
与
垂直，
由(1)，得
，
∵
，
∴
，即
；
②过点C作CD//BP交AB的延长线于点D，延长AM交CD于点H，
∴∠PCH=∠BPQ，
∵
，∴
⊥
，
∴∠BPM=∠CHM=90°，
又∵∠BMP=∠CMH，BM=CM，
∴△BPM≌△CHM，
∴BP=CH，PM=HM，
∴PH=2PM，
∵∠PMB=∠BMA，∠ABM=∠BPM=90°，
∴△ABM∽△BPM，
∴
，
在Rt△PCH中，tan∠PCH=
，
∴tan∠BPQ=
，
又∵BC=2BM，
，
∴tan∠BPQ=
.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与*质，相似三角形的判定与*质，三角函数，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.
知识点：相似三角形
题型：解答题
