问题详情:
抛物线的对称轴是直线,且过点(1,0).顶点位于第二象限,其部分图像如图所示,给出以下判断:
①且;
②;
③;
④;
⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为,则.其中正确的个数有( )
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【回答】
C
【分析】
根据对称轴的位置及图象与y轴的交点位置可对①进行判断;由图象过点(1,0)及对称轴可得图象与x轴的另一个交点坐标,由抛物线开口方向可得a<0,可得x=-2时y>0,可对②进行判断;由对称轴方程可得b=2a,由图象过点(1,0)可知a+b+c=0,即可得出3a+c=0,可对③④进行判断;由ax2+bx+c=2x+2可得ax2+(b-2)x+c-2=0,根据一元二次方程根与系数的故选可对⑤进行判断,综上即可得*.
【详解】
∵对称轴在y轴左侧,图象与y轴交于y轴正半轴,
∴ab>0,c>0,故①错误,
∵图象过点(1,0),对称轴为x=-1,
∴图象与x轴的另一个交点为(-3,0),
∵抛物线的开口向下,
∴a<0,
∴x=-2时,4a-b+c>0,故②正确,
∵对称轴x==-1,
∴b=2a,
∵x=1时,a+b+c=0,
∴3a+c=0,
∴8a+c=5a<0,故③错误,
∵3a+c=0,
∴c=-3a,
∴3a-3b=3a-3×2a=-3a=c,故④正确,
ax2+bx+c=2x+2,
整理得:ax2+(b-2)x+c-2=0,
∵直线与抛物线两个交点的横坐标分别为,
∴x1+x2+x1x2=+==-5,故⑤正确,
综上所述:正确的结论为②④⑤,共3个.
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧;常数项c决定抛物线与y轴交点,抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.
知识点:二次函数单元测试
题型:选择题