问题详情：
如图，在菱形
中，
，点E，F分别在
，
上，且
，
与
相交于点G，
与
相交于点H．下列结论：①
；②
；③若
，则
；④
．其中正确的结论有_______．（只填序号即可）
【回答】
①③④
【解析】
根据等边三角形的*质*△ACF≌△CDE，可判断①；过点F作FP∥AD，交CE于P点，利用平行线分线段成比例可判断③；过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，得到点A、B、C、G四点共圆，从而*△ABM≌△CBN，得到S四边形ABCG=S四边形BMGN，再利用S四边形BMGN=2S△BMG求出结果即可判断④；*△BCH∽△BGC，得到
，推出GH·BG=BG2-BC2，得出若等式成立，则∠BCG=90°，根据题意此条件未必成立可判断②．
【详解】
解：∵ABCD为菱形，
∴AD=CD，
∵AE=DF，
∴DE=CF，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠D=∠ACD=60°，AC=CD，
∴△ACF≌△CDE（SAS），故①正确；
过点F作FP∥AD，交CE于P点． ∵DF=2CF， ∴FP：DE=CF：CD=1：3， ∵DE=CF，AD=CD， ∴AE=2DE， ∴FP：AE=1：6=FG：AG， ∴AG=6FG，
∴CE=AF=7GF，故③正确；
过点B作BM⊥AG于M，BN⊥GC于N，
∵∠AGE=∠ACG+∠CAF=∠ACG+∠GCF=60°=∠ABC， 即∠AGC+∠ABC=180°， ∴点A、B、C、G四点共圆， ∴∠AGB=∠ACB=60°，∠CGB=∠CAB=60°， ∴∠AGB=∠CGB=60°，
∴BM=BN，又AB=BC，
∴△ABM≌△CBN（HL），
∴S四边形ABCG=S四边形BMGN，
∵∠BGM=60°，
∴GM=
BG，BM=
BG，
∴S四边形BMGN=2S△BMG=2×
×
BG×
BG=
BG2，故④正确；
∵∠CGB=∠ACB=60°，∠CBG=∠HBC，
∴△BCH∽△BGC，
∴
，
则BG·BH=BC2，
则BG·（BG-GH）=BC2，
则BG2-BG·GH= BC2，
则GH·BG=BG2-BC2，
当∠BCG=90°时，BG2-BC2=CG2，此时GH·BG= CG2，
而题中∠BCG未必等于90°，故②不成立，
故正确的结论有①③④，
故*为：①③④．
【点睛】
本题考查了菱形的*质，等边三角形的判定与*质，全等三角形的判定和*质，相似三角形的判定和*质，作出辅助线构造出全等三角形，把不规则图形的面转化为两个全等三角形的面积是解题的关键．
知识点：相似三角形
题型：填空题
