问题详情:
如图,已知二次函数的图象经过点,与轴分别交于点,点.点是直线上方的抛物线上一动点.
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接,,并把沿轴翻折,得到四边形.若四边形为菱形,请求出此时点的坐标;
(3)当点运动到什么位置时,四边形的面积最大?求出此时点的坐标和四边形的最大面积.
【回答】
解:(1)将点B和点C的坐标代入,
得 , 解得 ,.
∴ 该二次函数的表达式为. 3分
(2)若四边形POP′C是菱形,则点P在线段CO的垂直平分线上; 4分
如图,连接PP′,则PE⊥CO,垂足为E,
∵ C(0,3),
∴ E(0,),
∴ 点P的纵坐标等于.
∴ ,
解得,(不合题意,舍去), 6分
∴ 点P的坐标为(,). 7分
(3)过点P作y轴的平行线与BC交于点Q,与OB交于点F,
设P(m,),设直线BC的表达式为,
则 , 解得 .
∴ 直线BC的表达式为 .
∴ Q点的坐标为(m,),
∴ .
当 ,
解得 ,
∴ AO=1,AB=4,
∴ S四边形ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ
=
=
=. 9分
当 时,四边形ABPC的面积最大.
此时P点的坐标为,四边形ABPC的面积的最大值为. 10分
知识点:各地中考
题型:综合题