问题详情:
已知直线交轴于点,交轴于点,二次函数的图象过两点,交轴于另一点,,且对于该二次函数图象上的任意两点,,当时,总有.
(1)求二次函数的表达式;
(2)若直线,求*:当时,;
(3)为线段上不与端点重合的点,直线过点且交直线于点,求与面积之和的最小值.
【回答】
(1);(2)详见解析;(3)的最小值为.
【解析】
(1)先根据坐标轴上点的坐标特征由一次函数的表达式求出A,B两点的坐标,再根据BC=4,得出点C的坐标,最后利用待定系数法可求二次函数的表达式;
(2)利用反*法*即可;
(3)先求出q的值,利用,得出,设,然后用含t的式子表示出的面积,再利用二次函数的*质求解即可.
【详解】
解:(1)对于,
当时,,所以;
当时,,,所以,
又因为,所以或,
若抛物线过,则当时,随的增大而减少,不符合题意,舍去.
若抛物线过,则当时,必有随的增大而增大,符合题意.
故可设二次函数的表达式为,
依题意,二次函数的图象过,两点,
所以,解得
所求二次函数的表达式为.
(2)当时,直线与直线不重合,
假设和不平行,则和必相交,设交点为,
由得,
解得,与已知矛盾,所以与不相交,
所以.
(3)如图,
因为直线过,所以,
又因为直线,所以,即,
所以,,
所以,所以,
设,则,
,
所以,
所以
所以当时,的最小值为.
【点睛】
本题考查了一次函数和二次函数的图象与*质、相似三角形的*质与判定、三角形面积等基础知识,注意函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与整合思想的运用.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题