问题详情:
已知在三棱锥P﹣ABC中,VP﹣ABC=,∠APC=,∠BPC=,PA⊥AC,PB⊥BC,且平面PAC⊥平面PBC,那么三棱锥P﹣ABC外接球的体积为( )
A. B. C. D.
【回答】
D【考点】球的体积和表面积.
【分析】利用等体积转换,求出PC,PA⊥AC,PB⊥BC,可得PC的中点为球心,球的半径,即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的体积.
【解答】解:由题意,设PC=2x,则
∵PA⊥AC,∠APC=,
∴△APC为等腰直角三角形,
∴PC边上的高为x,
∵平面PAC⊥平面PBC,
∴A到平面PBC的距离为x,
∵∠BPC=,PA⊥AC,PB⊥BC,
∴PB=x,BC=x,
∴S△PBC==,
∴VP﹣ABC=VA﹣PBC==,
∴x=2,
∵PA⊥AC,PB⊥BC,
∴PC的中点为球心,球的半径为2,
∴三棱锥P﹣ABC外接球的体积为=.
故选:D.
知识点:球面上的几何
题型:选择题