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如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连结PE并延长交AB于点G.
(Ⅰ)*:G是AB的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.
【回答】
(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)作图见解析,体积为.
【解析】
试题分析:*AB⊥PG由PA=PB可得G是AB的中点.(Ⅱ)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE= 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2四面体PDEF的体积V=
试题解析:(Ⅰ)因为P在平面ABC内的正投影为D,所以AB⊥PD
因为D在平面PAB内的正投影为E,所以AB⊥DE
所以AB⊥平PED,故AB⊥PG
又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.
(Ⅱ)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.
理由如下:由已知可得PB⊥PA,PB⊥PC,又EF//PB,所以EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.
连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.
由(Ⅰ)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG
由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE//PC,因此PE=PG,DE=
PC
由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=
在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2
所以四面体PDEF的体积V=
【考点】线面位置关系及几何体体积的计算
【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的*及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的*主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论*的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.
知识点:空间几何体
题型:解答题