问题详情：
如图，二次函数
的图象与
轴交于点A和点B（1，0），以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴的正方向匀速运动，同时动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿CB匀速运动，当点Q到达终点B时，点P停止运动，设运动时间为t秒．连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．
（1）求二次函数的解析式及点A的坐标；
（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，并求出这个最大值；
（3）在P，Q运动过程中，求当△DPE与以D、C、Q为顶点的三角形相似时t的值；
（4）是否存在t, 使△DCQ沿DQ翻折得到
， 点
恰好落在抛物线的对称轴上，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．
【回答】
解：（1）把B（1，0）代入
得
.∴
.
由
得
.
∴点A的坐标为（-3，0）.
（2）. 如图(2), 由正方形ABCD得AD＝AB＝4.
由
*得
∽
，
∴
设
，则
.
∴
.
∵
∴当
，此时
,
即点P位于AO的中点时， 线段OE的长有最大值
（3）①如图①，当
时，OP=3-2t 当 
∽
，
.或
=
,又
∽
，∴
.
∴
.即
，解得
.
经检验：
是原方程的解.或
=即
=
此方程无解
②如图②，当
＜t≤4时，OP=2t-3，当 ∽，
.或=,同理*得
∽
，
∴
,即
，解得
.经检验：
是原方程的解.
或
.即
，解得
，
（经检验：舍
）.
综上所述，
或3或
.
(求出了一个的值给2分，两个的值给4分，三个的值给5分)
（4）存在
.理由如下：如图由
沿
翻折得
，则
≌
，
∴
，
.
设抛物线的对称轴交DC于G，则DG＝2.在
中，∵
，
∴
.∴
.∴
，即
.
知识点：相似三角形
题型：综合题
