问题详情：
如图，二次函数y=
x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，与x轴交于点D、点E，过点B和点C的直线与x轴交于点A．
(1)求二次函数的解析式；
(2)在x轴上有一动点P，随着点P的移动，存在点P使△PBC是直角三角形，请你求出点P的坐标；
(3)若动点P从A点出发，在x轴上沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q也从A点出发，以每秒a个单位的速度沿*线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，说明理由．
【回答】
(1)抛物线解析式y=
x2–
x+1；(2)点P坐标为（1，0），（3，0），（
，0），（
，0）；(3)a=
或
．
【分析】
(1) 将B、C两点坐标代入二次函数解析式,通过联立方程组可求得b、c的值，进而求出函数解析式;
(2)设P（x，0），由△PBC是直角三角形，分∠CBP=90°与∠BPC=90°两种情况讨论，运用勾股定理可得x的值，进而得到P点坐标;
(3)假设成立有△APQ∽△ADB或△APQ∽△ABD,则对应边成比例，可求出a的值.
【详解】
(1)∵二次函数y=0.5x2+bx+c的图象过点B（0，1）和C（4，3）两点，
∴
，解得
，
∴抛物线解析式y=
x2–
x+1．
(2)设点P坐标为（x，0）．
∵点P（x，0），点B（0，1），点C（4，3），
∴PB=
=
，
CP=
=
，
BC=
=2
，
若∠BCP=90°，则BP2=BC2+CP2．
∴x2+1=20+x2–8x+25，∴x=
．
若∠CBP=90°，则CP2=BC2+BP2．
∴x2+1+20=x2–8x+25，∴x=
．
若∠BPC=90°，则BC2=BP2+CP2．
∴x2+1+x2–8x+25=20，
∴x1=1，x2=3，
综上所述：点P坐标为（1，0），（3，0），（
，0），（
，0）．
(3)a=
或
．
∵抛物线解析式y=
x2–
x+1与x轴交于点D，点E，
∴0=
x2–
x+1，∴x1=1，x2=2，∴点D（1，0）．
∵点B（0，1），C（4，3），
∴直线BC解析式y=
x+1．
当y=0时，x=–2，∴点A（–2，0）．
∵点A（–2，0），点B（0，1），点D（1，0），
∴AD=3，AB=
．
设经过t秒，∴AP=2t，AQ=at，
若△APQ∽△ADB，
∴
，即
，∴a=
，
若△APQ∽△ABD，∴
，即
，∴a=
．
综上所述：a=
或
．
【点睛】
此题考查了二次函数解析式的确定、 直角三角形的判定以及相似三角形的*质等, 难度适中.
知识点：二次函数单元测试
题型：解答题
