问题详情：
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣
x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点．动点P从点A出发，在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动，到达点O停止运动，点A关于点P的对称点为点Q，以线段PQ为边向上作正方形PQMN．设运动时间为t秒．
（1）当t=
秒时，点Q的坐标是 ；
（2）在运动过程中，设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S，求S与t的函数表达式；
（3）若正方形PQMN对角线的交点为T，请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值．
【回答】
（1）（4，0）；（2）①当0＜t≤1时，S =
t2；②当1＜t≤
时，S =﹣
t2+18t；③当
＜t≤2时， S =﹣3t2+12；（3）OT+PT的最小值为
．
【解析】
（1）先确定出点A的坐标，进而求出AP，利用对称*即可得出结论；
（2）分三种情况，①利用正方形的面积减去三角形的面积，②利用矩形的面积减去三角形的面积，③利用梯形的面积，即可得出结论；
（3）先确定出点T的运动轨迹，进而找出OT+PT最小时的点T的位置，即可得出结论．
【详解】
（1）令y=0，
∴﹣
x+4=0，
∴x=6，
∴A（6，0），
当t=
秒时，AP=3×
=1，
∴OP=OA﹣AP=5，
∴P（5，0），
由对称*得，Q（4，0）；
（2）当点Q在原点O时，OQ=6，
∴AP=
OQ=3，
∴t=3÷3=1，
①当0＜t≤1时，如图1，令x=0，
∴y=4，
∴B（0，4），
∴OB=4，
∵A（6，0），
∴OA=6，
在Rt△AOB中，tan∠OAB=
，
由运动知，AP=3t，
∴P（6﹣3t，0），
∴Q（6﹣6t，0），
∴PQ=AP=3t，
∵四边形PQMN是正方形，
∴MN∥OA，PN=PQ=3t，
在Rt△APD中，tan∠OAB=
，
∴PD=2t，
∴DN=t，
∵MN∥OA
∴∠DCN=∠OAB，
∴tan∠DCN=
，
∴CN=
t，
∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=（3t）2﹣
t×
t=
t2；
②当1＜t≤
时，如图2，同①的方法得，DN=t，CN=
t，
∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×（6﹣3t）﹣
t×
t=﹣
t2+18t；
③当
＜t≤2时，如图3，S=S梯形OBDP=
（2t+4）（6﹣3t）=﹣3t2+12；
（3）如图4，由运动知，P（6-3t，0），Q（6-6t，0）， ∴M（6-6t，3t）， ∵T是正方形PQMN的对角线交点， ∴T（6-
）， ∴点T是直线y=-
x+2上的一段线段，（-3≤x＜6）， 同理：点N是直线AG：y=-x+6上的一段线段，（0≤x≤6）， ∴G（0，6）， ∴OG=6， ∵A（6，0）， ∴AG=6
，在Rt△ABG中，OA=6=OG， ∴∠OAG=45°， ∵PN⊥x轴， ∴∠APN=90°， ∴∠ANP=45°， ∴∠TNA=90°， 即：TN⊥AG， ∵T正方形PQMN的对角线的交点， ∴TN=TP， ∴OT+TP=OT+TN， ∴点O，T，N在同一条直线上（点Q与点O重合时），且ON⊥AG时，OT+TN最小， 即：OT+TN最小， ∵S△OAG=
OA×OG=
AG×ON， ∴ON=
=
． 即：OT+PT的最小值为3
【点睛】
此题是一次函数综合题，主要考查了正方形的面积，梯形，三角形的面积公式，正方形的*质，勾股定理，锐角三角函数，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键，找出点T的位置是解本题（3）的难点．
知识点：一次函数
题型：解答题
