问题详情:
已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,g(x)=xe1﹣x(a∈R,e为自然对数的底数),若对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,则a的取值范围是( )
A.(﹣∞,] B.(﹣∞,]
C.(,2) D.[,)
【回答】
A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调*.
【分析】根据若对任意给定的x0∈(0,e],在区间(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,得到函数f(x)在区间(0,e]上不单调,从而求得a的取值范围.
【解答】解:∵g'(x)=(1﹣x)e1﹣x,
∴g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,e]上单调递减,
又因为g(0)=0,g(1)=1,g(e)=e2﹣e>0,
∴g(x)在(0,e]上的值域为(0,1].
,
当时,f′(x)=0,f(x)在处取得最小值,
由题意知,f(x)在(0,e]上不单调,所以,解得,
所以对任意给定的x0∈(0,e],在(0,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立,
当且仅当a满足条件且f(e)≥1
因为f(1)=0,所以恒成立,由f(e)≥1解得
综上所述,a的取值范围是.
故选:A.
知识点:导数及其应用
题型:选择题