已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；（2）...

问题详情：

已知函数f（x）=（x﹣1）|x﹣a|﹣x﹣2a（x∈R）．

（1）若a=﹣1，求方程f（x）=1的解集；

（2）若，试判断函数y=f（x）在R上的零点个数，并求此时y=f（x）所有零点之和的取值范围．

【回答】

【解答】解：（1）方法一：

当a=﹣1时，（2 分）

由f（x）=1得或（2 分）

解得 x=0，1，﹣2，即解集为{0，1，﹣2}． （2分）

方法二：当a=﹣1时，由f（x）=1得：（x﹣1）|x+1|﹣（x﹣1）=0（x﹣1）（|x+1|﹣1）=0（3分）

∴得x=1或|x+1|=1∴x=1或x=0或x=﹣2

即解集为{0，1，﹣2}．  （3分）

（2）

当x≥a时，令x2﹣（a+2）x﹣a=0，∵，

∴△=a2+8a+4=（a+4）2﹣12＞0

得，（2分）

且

先判断2﹣a，与大小：∵，即a＜x1＜x2，故当x≥a时，f（x）存在两个零点．（2分）

当x＜a时，令﹣x2+ax﹣3a=0，即x2﹣ax+3a=0得∵，

∴△=a2﹣12a=（a﹣6）2﹣36＞0

得，

同上可判断x3＜a＜x4，故x＜a时，f（x）存在一个零点．（2分）

综上可知当时，f（x）存在三个不同零点．

且

设，易知g（a）在上单调递增，

故g（a）∈（0，2）∴x1+x2+x3∈（0，2）．

知识点：*与函数的概念

题型：解答题