问题详情:
如图:AB是⊙O的直径,AC交⊙O于G,E是AG上一点,D为△BCE内心,BE交AD于F,且∠DBE=∠BAD.
(1)求*:BC是⊙O的切线;
(2)求*:DF=DG;
(3)若∠ADG=45°,DF=1,则有两个结论:①AD•BD的值不变;②AD+BD的值不变,其中有且只有一个结论正确,请选择正确的结论,*并求其值.
【回答】
【解答】(1)*:∵D为△BCE内心,
∴∠DBC=∠DBE,
∵∠DBE=∠BAD.
∴∠DBC=∠BAD,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠DBC+∠ABD=90°,即∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
∴BC是⊙O的切线;
(2)*:如图1,连接DE,
∵∠DBC=∠BAD,∠DBC=∠DBE,
∴∠DBE=∠BAD,
∴∠ABF+∠BAD=∠ABF+∠DBE,
∴∠BFD=∠ABD,
∵∠DGC=∠ABD,
∴∠BFD=∠DGC,
∴∠DFE=∠DGE,
∵D为△BCE内心,
∴∠DEG=∠DEB,
在△DEF和△DEG中
∴△DEF≌△DEG(AAS),
∴DF=DG;
(3)解:①AD﹣BD的值不变;
如图2,在AD上截取DH=BD,连接AH、BG,
∵AB是直径,
∴∠ADB=∠AGB=90°,
∵∠ADG=45°,
∴∠ABG=∠ADG=45°,
∴AB=BG,
∵∠BDH=90°,BD=DH,
∴∠BHD=45°,
∴∠AHB=180°﹣45°=135°,
∵∠BDG=∠ADB+∠ADG=90°+45°=135°,
∴∠AHB=∠BDG,
∵∠BAD=∠BGD,
∴△ABH∽△GBD,
∴==,
∵DG=1,
∴AH=,
∵AD﹣BD=AD﹣DH=AH,
∴AD﹣BD=.
知识点:相似三角形
题型:综合题