问题详情:
如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:①PM=PN;②;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN=PC.其中正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
D【考点】S9:相似三角形的判定与*质;KL:等边三角形的判定;KP:直角三角形斜边上的中线.
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确;
先*△ABM∽△ACN,再根据相似三角形的对应边成比例可判断②正确;
先根据直角三角形两锐角互余的*质求出∠ABM=∠ACN=30°,再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°,然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°,从而得到∠MPN=60°,又由①得PM=PN,根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断③正确;
当∠ABC=45°时,∠BCN=45°,由P为BC边的中点,得出BN=PB=PC,判断④正确.
【解答】解:①∵BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,
∴PM=BC,PN=BC,
∴PM=PN,正确;
②在△ABM与△ACN中,
∵∠A=∠A,∠AMB=∠ANC=90°,
∴△ABM∽△ACN,
∴,正确;
③∵∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,
∴∠ABM=∠ACN=30°,
在△ABC中,∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°,
∵点P是BC的中点,BM⊥AC,CN⊥AB,
∴PM=PN=PB=PC,
∴∠BPN=2∠BCN,∠CPM=2∠CBM,
∴∠BPN+∠CPM=2(∠BCN+∠CBM)=2×60°=120°,
∴∠MPN=60°,
∴△PMN是等边三角形,正确;
④当∠ABC=45°时,∵CN⊥AB于点N,
∴∠BNC=90°,∠BCN=45°,
∴BN=CN,
∵P为BC边的中点,
∴PN⊥BC,△BPN为等腰直角三角形
∴BN=PB=PC,正确.
故选D.
【点评】本题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的*质,相似三角形、等边三角形、等腰直角三角形的判定与*质,等腰三角形三线合一的*质,仔细分析图形并熟练掌握*质是解题的关键.
知识点:相似三角形
题型:选择题