问题详情：
如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．
（1）求*：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件： ．
【回答】
（1）*：∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，AD∥BC，∴∠PAF＝∠AEB，
又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝90°＝∠ABE，∴△PFA∽△ABE．
（2）解：分二种情况：
①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB，∴PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，∴PA＝EB＝3，即x＝3．
②若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB，∵AD∥BC∴∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点，Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，∴AE＝5，
∴EF＝
AE＝
，∵△PFE∽△ABE，∴
，∴
，∴PE＝
，即x＝
．
∴满足条件的x的值为3或
．
（3）如图3，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵AP＝x，∴PD═DG＝6﹣x，
∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴
，∴
＝
，x＝
，
当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，
∴AP＝x＝6﹣5＝1，
∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝
或0≤x＜1；故*为：x＝
或0≤x＜1．
知识点：相似三角形
题型：解答题
