问题详情:
已知圆心在轴上的圆经过点,截直线所得弦长为,直线.
(1)求圆的方程;
(2)若直线与圆相交于、两点,当为何值时,的面积最大.
【回答】
(1);(2)或.
【分析】
(1)根据圆心在轴上设出圆的方程,将点带入,结合垂径定理即可得关于和的方程组,解方程组求出和即可得圆的方程.
(2)先利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离的表达式,再由垂径定理表示的长度,即可表示出的面积,结合基本不等式即可求得当面积取最大值时的值.
【详解】
(1)设圆的方程为:,
把代入得,①
又∵圆截直线所得弦长为
∴②
联立①②解得,
∴圆方程为:
(2)圆心到直线的距离
由
此时即时等号成立
解得或
则当或时的面积最大.
【点睛】
本题考查了圆的标准方程求法,直线与圆相交的*质及应用,点到直线距离公式的应用,属于基础题.
知识点:圆与方程
题型:解答题