问题详情:
命题p:存在a∈R且a≠0,对于任意的x∈R,使得f(x+a)<f(x)+f(a);
命题q1:f(x)单调递减且f(x)>0恒成立;
命题q2:f(x)单调递增,存在x0<0使得f(x0)=0,
则下列说法正确的是( )
A.只有q1是p的充分条件
B.只有q2是p的充分条件
C.q1,q2都是p的充分条件
D.q1,q2都不是p的充分条件
【回答】
C
【解析】解:对于命题q1:当f(x)单调递减且f(x)>0恒成立时,
当a>0时,此时x+a>x,
又因为f(x)单调递减,
所以f(x+a)<f(x)
又因为f(x)>0恒成立时,
所以f(x)<f(x)+f(a),
所以f(x+a)<f(x)+f(a),
所以命题q1⇒命题p,
对于命题q2:当f(x)单调递增,存在x0<0使得f(x0)=0,
当a=x0<0时,此时x+a<x,f(a)=f(x0)=0,
又因为f(x)单调递增,
所以f(x+a)<f(x),
所以f(x+a)<f(x)+f(a),
所以命题p2⇒命题p,
所以q1,q2都是p的充分条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件.命题及充要条件与必要条件
【专题】函数思想;综合法;函数的*质及应用;简易逻辑;逻辑推理.
【分析】对于命题q1:当a>0时,结合f(x)单调递减,可推出 f(x+a)<f(x)<f(x)+f(a),命题q1是命题p的充分条件.对于命题q2:当a=x0<0时,f(a)=f(x0)=0,结合f(x)单调递增,推出f(x+a)<f(x),进而f(x+a)<f(x)+f(a),命题q2都是p的充分条件.
【点评】本题考查命题的真假,及函数的单调*,关键是分析不等式之间关系,属于中档题.
知识点:常用逻辑用语
题型:选择题