問題詳情:
已知長度為的線段的兩個端點分別在軸和軸上運動,動點滿足,記動點的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)設不經過點的直線與曲線相交於兩點.若直線與的斜率之和為,求實數的值.
【回答】
【解答】解:(Ⅰ)設P(x,y),A(m,0),B(0,n),
∵,
∴(x,y﹣n)=3(m﹣x,﹣y)=(3m﹣3x,﹣3y),
即,
∴,
∵|AB|=4,
∴m2+n2=16,
∴,
∴曲線C的方程為:;
(Ⅱ)設M(x1,y1),N(x2,y2),
由,消去y得,
37x2+36tx+9(t2﹣1)=0,
由△=(36t)2﹣4×37×9(t2﹣1)>0,
可得﹣,
又直線y=2x+t不經過點H(0,1),
且直線HM與HN的斜率存在,
∴t≠±1,
又,,
∴kHM+kHN=
=
=4﹣=1,
解得t=3,
故t的值為3.
知識點:圓錐曲線與方程
題型:解答題