問題詳情:
如圖,高36米的樓房AB正對着斜坡CD,點E在斜坡CD的中點處,已知斜坡的坡角(即∠DCG)為30°,AB⊥BC.
(1)若點A、B、C、D、E、G在同一個平面內,從點E處測得樓頂A的仰角α為37°,樓底B的俯角β為24°,問點A、E之間的距離AE長多少米?(精確到十分位)
(2)現計劃在斜坡中點E處挖去部分斜坡,修建一個平行於水平線BC的平台EF和一條新的斜坡DF,使新斜坡DF的坡比為:1.某施工隊承接這項任務,為儘快完成任務,增加了人手,實際工作效率提高到原計劃的1.5倍,結果比原計劃提前2天完成任務,施工隊原計劃平均每天修建多少米?
(參考數據:cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,tan24°≈0.45,cos24°≈0.91)
【回答】
【分析】(1)延長FE交AB於M,設ME=x,根據直角三角形函數得出AM=tanα•x,BM=tanβ•x,然後根據tanα•x+tanβ•x=36,即可求得EM的長,然後通過餘弦函數即可求得AE;
(2)根據BM=NG=DN,得到DN的長,然後解直角三角形函數求得EN和FN,進而求得EF和DF的長,然後根據題意列出方程,解方程即可求得.
【解答】解:(1)延長FE交AB於M,
∵EF∥BC,
∴MN⊥AB,MN⊥DG,
設ME=x,
∴AM=tanα•x,BM=tanβ•x,
∵AB=36,
∴tanα•x+tanβ•x=36,
∴tan37°x+tan24°x=36,
0.75x+0.45x=36,
解得x=30,
∴AE==≈37.5(米);
(2)延長EF交DG於N,
∵GN=BM=tan24°•30=13.5,DE=CE,EF∥BC,
∴DN=GN=13.5(米),
∵∠DCG=30°,
∴∠DEN=30°,
∴EN=DN•cot30°=13.5×,
∵=,
∴∠DFN=60°,
∴∠EDF=30°,FN=DN•cot60°=13.5×,
∴DF=EF=EN﹣FN=13.5×,
∴EF+DF=27×=18,
設施工隊原計劃平均每天修建y米,
根據題意得, =+2,
解得x=3(米),
經檢驗,是方程的根,
答:施工隊原計劃平均每天修建3米.
知識點:解直角三角形與其應用
題型:解答題