问题详情：
已知数列
的各项均为正数，
，
为自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数
的单调区间，并比较
与
的大小；
（Ⅱ）计算
，
，
，由此推测计算
的公式，并给出*；
（Ⅲ）令
，数列
，
的前
项和分别记为
,
, *：
．
【回答】
（Ⅰ）
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析．
【解析】
（Ⅰ）
的定义域为
，
．
当
，即
时，
单调递增；
当
，即
时，
单调递减．
故
的单调递增区间为
，单调递减区间为
．
当
时，
，即
．
令
，得
，即
． ①
（Ⅱ）
；
；
．
由此推测： 
②
下面用数学归纳法*②．
（1）当
时，左边
右边
，②成立．
（2）假设当
时，②成立，即
．
当
时，
，
由归纳假设可得
．
所以当
时，②也成立．
根据（1）（2），可知②对一切正整数
都成立．
（Ⅲ）由
的定义，②，算术-几何平均不等式，
的定义及①得
．
即
．
考点：导数的应，数列的概念，数学归纳法，基本不等式，不等式的*．
知识点：导数及其应用
题型：解答题
