问题详情:
已知函数(为自然对数的底数).
(1)当时,直接写出的值域(不要求写出求解过程);
(2)若,求函数的单调区间;
(3)若,且方程在内有解,求实数的取值范围.
【回答】
.解.(1); ……………………………3分
(2)当,,,.
令,得,.当时,.
当,时,,或时,;
当,时,,或时,.
所以,时,的单调递减区间为;
时,的单调递增区间为,递减区间为,;
时,的单调递增区间为,递减区间为,. .....8分
(3)由得,,
由得,设,
则在内有零点.设为在内的一个零点,则由知在区间和上不可能单调递增,也不可能单调递减,设,则在区间和上均存在零点,即在上至少有两个零点. ,.
当时,,在区间上递增,不可能有两个及以上零点;.6分
当时,,在区间上递减,不可能有两个及以上零点;.7分
当时,令得,所以在区间上递减,在上递增,在区间上存在最小值.
若有两个零点,则有:,,.
设,则,令,得.
当时,,递增,当时,,递减,
,所以恒成立. ..........10分
由,,得.
当时,设的两个零点为,则在递
增,在递减,在递增,所以,,则在内有零点.
综上,实数的取值范围是. ........16分
知识点:导数及其应用
题型:解答题