问题详情:
如果对定义在R上的函数f(x),以任意两个不相等的实数x1,x2,都有x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),则称函数f(x)为“H函数”.给出下列函数:①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sin x-cos x);③y=ex+1;④f(x)=以上函数是“H函数”的所有序号为________.
【回答】
②③
[解析] 因为x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),即(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,
所以函数f(x)在R上是增函数.由y′=-3x2+1>0得-<x<,即函数在区间上是增函数,故①不是“H函数”;由y′=3-2(cos x+sin x)=3-2sin≥3-2>0恒成立,所以②为“H函数”;
由y′=ex>0恒成立,所以③为“H函数”;由于④为偶函数,所以不可能在R上是增函数,所以不是“H函数”.
综上,是“H函数”的有②③.
知识点:基本初等函数I
题型:填空题