问题详情:
如图,已知等边△ABC,AB=12,以AB为直径的半圆与BC边交于点D,过点D作DF⊥AC,垂足为F,过点F作FG⊥AB,垂足为G,连结GD.
(1)求*:DF是⊙O的切线;
(2)求FG的长;
(3)求tan∠FGD的值.
【回答】
(1)*:连结OD,如图,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠C=∠A=∠B=60°,而OD=OB,
∴△ODB是等边三角形,∠ODB=60°,
∴∠ODB=∠C,∴OD∥AC,
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF,∴DF是⊙O的切线; ………………………………3分
(2)∵OD∥AC,点O为AB的中点,∴OD为△ABC的中位线,∴BD=CD=6.
在Rt△CDF中,∠C=60°,∴∠CDF=30°,∴CF=CD=3,∴AF=AC﹣CF=12﹣3=9,
在Rt△AFG中,∵∠A=60°,∴FG=AF×sinA=9×; …………………………6分
(3)过D作DH⊥AB于H.∵FG⊥AB,DH⊥AB,∴FG∥DH,∴∠FGD=∠GDH.
在Rt△BDH中,∠B=60°,∴∠BDH=30°,∴BH=BD=3,DH=BH=3.
在Rt△AFG中,∵∠AFG=30°,∴AG=AF=,∵GH=AB﹣AG﹣BH=12﹣﹣3=,
∴tan∠GDH=,∴tan∠FGD=tan∠GDH=. ………………10分
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题