问题详情:
已知幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.
【回答】
解:(1)因为f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,
所以-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,
解得-1<m<3.
又m∈Z,
所以m=0,1,2.
而当m=0或2时,f(x)=x3不是偶函数;
当m=1时,f(x)=x4是偶函数.
故函数f(x)的解析式为f(x)=x4.
(2)由(1)知f(x)=x4,
则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).
因为g(x)>2对任意的x∈R恒成立,
所以g(x)min>2,且x∈R.
又g(x)min=g(-1)=c-1,
所以c-1>2,解得c>3.
故实数c的取值范围是(3,+∞).
知识点:基本初等函数I
题型:解答题