已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在...

问题详情：

    已知三棱锥（如图1）的平面展开图（如图2）中，四边形为边长为的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥中：

    (I)*：平面平面;

    (Ⅱ)求二面角的余弦值；

    (Ⅲ)若点在棱上，满足，，点在棱上，且，

求的取值范围．

【回答】

（Ⅰ）方法1：

设的中点为，连接，. 由题意

        ，，

        因为 在中，，为的中点

所以 ，

因为 在中，，，

所以  

因为 ，平面

所以 平面

因为 平面····················· 4分

所以 平面平面

方法2：

设的中点为，连接，.

因为 在中，，为的中点

所以 ，

因为 ，，

        所以 ≌≌

所以

所以  

因为 ，平面

所以 平面

因为 平面····················· 4分

所以 平面平面

方法3：

设的中点为，连接，因为在中，，

所以  

设的中点， 连接，及.

因为 在中，，为的中点

所以 .

因为 在中，，为的中点

所以 .

因为  ，平面

所以  平面

因为  平面

所以   

因为 ，平面

所以 平面

因为 平面····················· 4分

所以 平面平面

（Ⅱ）由平面，，如图建立空间直角坐标系，则

，，，，

由平面，故平面的法向量为

由，

设平面的法向量为，则

由得：

令，得，，即

由二面角是锐二面角，

所以二面角的余弦值为·············· 9分

（Ⅲ）设，，则

令

得

即，μ是关于λ的单调递增函数，

当时，，

所以························ 14分

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题