问题详情：
如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）．抛物线y＝ax2+bx过A、C两点．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG最长？
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形？请直接写出相应的t值．
【回答】
（1）由于四边形ABCD为矩形，所以A点与D点纵坐标相同，A点与B点横坐标相同；
（2）①根据相似三角形的*质求出点E的横坐标表达式即为点G的横作标表达式．代入二次函数解析式，求出纵标表达式，将线段最值问题转化为二次函数最值问题解答．
②若构成等腰三角形，则三条边中有两条边相等即可，于是可分EQ＝QC，EC＝CQ，EQ＝EC三种情况讨论．若有两种情况时间相同，则三边长度相同，为等腰三角形．
解：（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y＝ax2+bx得
，
解得a＝﹣
，b＝4．故抛物线的解析式为：y＝﹣
x2+4x；
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝
＝
，即
＝
．
∴PE＝
AP＝
t．PB＝8﹣t．∴点E的坐标为（4+
t，8﹣t）．
∴点G的纵坐标为：﹣
（4+
t）2+4（4+
t）＝﹣
t2+8．∴EG＝﹣
t2+8﹣（8﹣t）＝﹣
t2+t．
∵﹣
＜0，∴当t＝4时，线段EG最长为2．
②共有三个时刻．
（①）当EQ＝QC时，因为Q（8，t），E（4+
t，8﹣t），QC＝t，
所以根据两点间距离公式，得：（
t﹣4）2+（8﹣2t）2＝t2．整理得13t2﹣144t+320＝0，
解得t＝
或t＝
＝8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（②）当EC＝CQ时，因为E（4+
t，8﹣t），C（8，0），QC＝t，
所以根据两点间距离公式，得：（4+
t﹣8）2+（8﹣t）2＝t2．
整理得t2﹣80t+320＝0，t＝40﹣16
，t＝40+16
＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（③）当EQ＝EC时，因为Q（8，t），E（4+
t，8﹣t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（
t﹣4）2+（8﹣2t）2＝（4+
t﹣8）2+（8﹣t）2，
解得t＝0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t＝
．
于是t1＝
，t2＝
，t3＝40﹣16
．
知识点：二次函数与一元二次方程
题型：综合题
