问题详情:
在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与x轴的两个交点分别为A(﹣3,0)、B(1,0),过顶点C作CH⊥x轴于点H.
(1)直接填写:a= ,b= ,顶点C的坐标为 ;
(2)在y轴上是否存在点D,使得△ACD是以AC为斜边的直角三角形?若存在,求出点D的坐标;若不存在,说明理由;
(3)若点P为x轴上方的抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),PQ⊥AC于点Q,当△PCQ与△ACH相似时,求点P的坐标.
【回答】
【解答】解:(1)a=﹣1,b=﹣2,顶点C的坐标为(﹣1,4);
(2)假设在y轴上存在满足条件的点D,过点C作CE⊥y轴于点E.
由∠CDA=90°得,∠1+∠2=90°.又∠2+∠3=90°,
∴∠3=∠1.又∵∠CED=∠DOA=90°,
∴△CED∽△DOA,∴.
设D(0,c),则.变形得c2﹣4c+3=0,解之得c1=3,c2=1.
综合上述:在y轴上存在点D(0,3)或(0,1),
使△ACD是以AC为斜边的直角三角形.
(3)①若点P在对称轴右侧(如图①),只能是△PCQ∽△CAH,得∠QCP=∠CAH.
延长CP交x轴于M,∴AM=CM,∴AM2=CM2.
设M(m,0),则(m+3)2=42+(m+1)2,∴m=2,即M(2,0).
设直线CM的解析式为y=k1x+b1,
则,解之得,.
∴直线CM的解析式.
联立,解之得或(舍去).
∴.
②若点P在对称轴左侧(如图②),只能是△PCQ∽△ACH,得∠PCQ=∠ACH.
过A作CA的垂线交PC于点F,作FN⊥x轴于点N.
由△CFA∽△CAH得,
由△FNA∽△AHC得.
∴AN=2,FN=1,CH=4,HO=1,则AH=2,
∴点F坐标为(﹣5,1).
设直线CF的解析式为y=k2x+b2,则,
解之得.
∴直线CF的解析式.
联立,解之得或(舍去).
∴.
∴满足条件的点P坐标为或.
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题