问题详情:
如图,在直角坐标系中,直线y=﹣x+3与x轴,y轴分别交于点B,点C,对称轴为x=1的抛物线过B,C两点,且交x轴于另一点A,连接AC.
(1)直接写出点A,点B,点C的坐标和抛物线的解析式;
(2)已知点P为第一象限内抛物线上一点,当点P到直线BC的距离最大时,求点P的坐标;
(3)抛物线上是否存在一点Q(点C除外),使以点Q,A,B为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(1)y=﹣x+3,令x=0,则y=3,令y=0,则x=6,
故点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,3),
抛物线的对称轴为x=1,则点A(﹣4,0),
则抛物线的表达式为:y=a(x﹣6)(x+4)=a(x2﹣2x﹣24),
即﹣24a=3,解得:a=﹣,
故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+3…①;
(2)过点P作y轴的平行线交BC于点G,作PH⊥BC于点H,
将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得:
直线BC的表达式为:y=﹣x+3,
则∠HPG=∠CBA=α,tan∠CAB===tanα,则cosα=,
设点P(x,﹣ x2+x+3),则点G(x,﹣ x+3),
则PH=PGcosα=(﹣x2+x+3+x﹣3)=﹣x2+x,
∵<0,故PH有最小值,此时x=3,
则点P(3,);
(3)①当点Q在x轴上方时,
则点Q,A,B为顶点的三角形与△ABC全等,此时点Q与点C关于函数对称轴对称,
则点Q(2,3);
②当点Q在x轴下方时,
Q,A,B为顶点的三角形与△ABC相似,则∠ACB=∠Q′AB,
当∠ABC=∠ABQ′时,
直线BC表达式的k值为﹣,则直线BQ′表达式的k值为,
设直线BQ′表达式为:y=x+b,将点B的坐标代入上式并解得:
直线BQ′的表达式为:y=x﹣3…②,
联立①②并解得:x=6或﹣8(舍去6),
故点Q(Q′)坐标为(﹣8,﹣7)(舍去);
当∠ABC=∠ABQ′时
知识点:各地中考
题型:综合题