問題詳情:
如圖,在四棱錐中,爲棱的中點,異面直線與所成的角爲.
(1)在平面內找一點,使得直線平面,並說明理由;
(2)若二面角的大小爲,求二面角的餘弦值.
【回答】
解:(I)延長交直線於點,
∵點爲的中點,∴,
∵,∴,
∵∥,即∥.∴四邊形爲平行四邊形,即∥.
∵,∴,∴∥,
∵平面,∴∥平面, ………
∵,平面,∴平面,故在平面內可以找到一點,使得直線∥平面 ……………………
(II)法一、
如圖所示,∵,異面直線與所成的角爲,即⊥ 又,
∴⊥平面.
又即⊥
∴⊥平面
∴⊥.
因此是二面角的平面角,其大小爲.
∴. …………………
建立如圖所示的空間直角座標系,不妨設,則.
∴,,,
∴,,,
易知平面的法向量爲
設平面的法向量爲,則,可得:.
令,則,∴. ………………………
設二面角的平面角爲,
則=.
∴ 二面角的餘弦值爲. ……………
法二、同法一可得⊥平面,
過點作交的延長線於,連接
∵⊥平面 平面
∴ 又,∴平面
∴∴即爲二面角的平面角.…………
在中
∴ ∴
∴ 二面角的餘弦值爲. ……………
知識點:空間中的向量與立體幾何
題型:解答題