問題詳情:
已知函數f(x)=x3+x-16.
(1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線的方程;
(2)直線l爲曲線y=f(x)的切線,且經過原點,求直線l的方程及切點座標;
(3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點座標與切線的方程。
【回答】
解 (1)可判定點(2,-6)在曲線y=f(x)上.
∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1.
∴f′(x)在點(2,-6)處的切線的斜率爲k=f′(2)=13.
∴切線的方程爲y=13(x-2)+(-6),
即y=13x-32.
(2)法一 設切點爲(x0,y0),
則直線l的斜率爲f′(x0)=3x+1,
∴直線l的方程爲y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16,
又∵直線l過點(0,0),∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16,
整理得,x=-8,∴x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
∴直線l的方程爲y=13x,切點座標爲(-2,-26.)
法二 設直線l的方程爲y=kx,切點爲(x0,y0),
則k=
又∵k=f′(x0)=3x+1,∴=3x+1,
解之得x0=-2,
∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26,k=3×(-2)2+1=13.
∴直線l的方程爲y=13x,切點座標爲(-2,-26).
(3)∵切線與直線y=-x+3垂直,
∴切線的斜率k=4.
設切點的座標爲(x0,y0),則f′(x0)=3x+1=4,
∴x0=±1,
∴
切線方程爲y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.
即y=4x-18或y=4x-14.
知識點:函數的應用
題型:解答題