问题详情：
已知函数
，
.
（1）若曲线
在点
处的切线方程为
，求a的值；
（2）若
为函数
的极值点，且
，求*：
.
【回答】
（1）
（2）*见解析；
【解析】
(1)先对函数
求导得到
,再分别求
,
,写出曲线
在点
处的切线方程,根据题意列出方程组,解方程组即可求得a的值；
(2)需要多次构造函数,利用函数的单调*、极值等解决问题.
【详解】
解：（1）由题意得
的定义域为
,
,
则
,
又
,
所以曲线
在点
处的切线方程为
,
即
,
所以
,解得
.
（2）由（1）得,
显然
.
令
,
,
当
时,
,
在
上单调递增,无极值,不符合题意；
当
时,
,所以
在
上单调递增.
取b满足
,则
,
所以
.
又
,所以存在
,使得
,此时
.
又当
时,
,
,
单调递减,
当
时,
,
,
单调递增,
所以
为函数
的极小值点,且
,则
,所以
在
上单调递减.又
,
,所以
.
令
.
所以当
时,
单调递增,所以
,所以
,
所以
.
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义、函数的极值点、不等式的*等,考查考生利用导数的有关知识分析问题、解决问题的能力,推理论*能力和化归与转化能力.
本题以含参函数为依托,运用导数运算法则,选择合适的方法,经过推理、运算解决问题,体现数学抽象、数学运算等核心素养. 本题第（2）问的求解过程需要考生有清晰的解题思路,对考生的能力要求较高,试题的区分度较大.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
