問題詳情:
速運動.動點Q同時從點C出發以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動,當點P到達點B時,點P、Q同時停止運動.設運動時間爲以t(s).過點P作PE⊥AC於E,連接PQ交AC邊於D.以CQ、CE爲邊作平行四邊形CQFE.
(1)當t爲何值時,△BPQ爲直角三角形;
(2)是否存在某一時刻t,使點F在∠ABC的平分線上?若存在,求出t的值,若不存在,請說明理由;
(3)求DE的長;
(4)取線段BC的中點M,連接PM,將△BPM沿直線PM翻折,得△B′PM,連接AB′,當t爲何值時,AB'的值最小?並求出最小值.
【回答】
【解答】解:(1)∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=60°,
∴當BQ=2BP時,∠BPQ=90°,
∴6+t=2(6﹣t),
∴t=3,
∴t=3時,△BPQ是直角三角形.
(2)存在.
理由:如圖1中,連接BF交AC於M.
∵BF平分∠ABC,BA=BC,
∴BF⊥AC,AM=CM=3cm,
∵EF∥BQ,
∴∠EFM=∠FBC=∠ABC=30°,
∴EF=2EM,
∴t=2•(3﹣t),
解得t=3.
(3)如圖2中,作PK∥BC交AC於K.
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠B=∠A=60°,
∵PK∥BC,
∴∠APK=∠B=60°,
∴∠A=∠APK=∠AKP=60°,
∴△APK是等邊三角形,
∴PA=PK,
∵PE⊥AK,
∴AE=EK,
∵AP=CQ=PK,∠PKD=∠DCQ,∠PDK=∠QDC,
∴△PKD≌△QCD(AAS),
∴DK=DC,
∴DE=EK+DK=(AK+CK)=AC=3(cm).
(4)如圖3中,連接AM,AB′
∵BM=CM=3,AB=AC,
∴AM⊥BC,
∴AM==3,
∵AB′≥AM﹣MB′,
∴AB′≥3﹣3,
∴AB′的最小值爲3﹣3.
知識點:各地中考
題型:綜合題